La diversidad de lenguas en el orbe puede adjudicarse a la ira de Dios (Génesis 11:7), y tuvo lugar durante aquella remota construcción de la torre de Babel. Puede pensarse, igualmente, que el Creador quiso luego redimirse en la invención de un único lenguaje universal. Optó, me atrevo a formular, por el lenguaje del número y de las formas: la matemática. Galileo entrevió este afán divino cuando dijo que la naturaleza está scritta in lingua matematica. No estoy del todo seguro del éxito de esta singular y vasta empresa. Más admisible, tal vez, es la sentencia de Kronecker: Dios hizo los números naturales, el resto es obra del hombre. La santa verdad es que este lenguaje se presenta, en general, con cierto aire críptico y, como es sabido, no goza del fervor popular; tampoco suele ser llano su acceso. Cuando Alejandro de Macedonia le preguntó a su maestro, Menecmo, si existía algún atajo para el conocimiento de la geometría, éste le respondió: Oh rey, para viajar por el país hay caminos reales y caminos para ciudadanos comunes, pero en geometría sólo hay un camino para todos. Una de las mejores narraciones de J. L. Borges es, sin duda, La biblioteca de Babel, obra publicada en 1941. Creo que esta breve pieza ha sido, tal vez, bastante leída y poco comprendida o, al menos, parcialmente comprendida (si es que esta insuficiencia es posible). Temo que no esté a mi alcance una interpretación final de sus páginas: me limitaré, quizá tediosamente, a bosquejar algunas alusiones de índole matemática que el autor ha reflejado en ellas; este es, pues, el objeto de este opúsculo. El relato, ejecutado por un narrador anónimo, comienza afirmando que El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales. Es dable suponer que estos hexágonos son regulares, es decir, tienen todos sus lados y sus ángulos iguales. Existen ciertos polígonos regulares que cubren, geométricamente hablando, todo el plano; esto es, puede rellenarse una  superficie con ellos sin que queden huecos. Sólo tres figuras logran esta hazaña: los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Unas líneas más adelante el texto recalca la forma hexagonal: Los idealistas arguyen que las salas hexagonales son una forma necesaria del espacio absoluto o, por lo menos, de nuestra intuición del espacio. Razonan que es inconcebible una sala triangular o pentagonal. Podemos, si es paciente el lector, razonar el cubrimiento de los hexágonos regulares. Existe una  sencilla fórmula matemática que nos brinda, dado el número de lados de un polígono regular (que llamaremos n), la suma de todos sus ángulos interiores: S=180º(n-2). No es difícil ver que para el hexágono (n=6) la suma de los ángulos interiores es 720º. Dado que hay seis ángulos iguales, cada uno medirá 120º. Una figura ayudará a comprender esta situación:
En cada vértice, como se ve, confluyen tres ángulos de 120º cada uno, que suman en total 360º; no hay sitio para los huecos. Tengo entendido que las abejas construyen sus panales en celdas hexagonales. Puede demostrarse que dada un área determinada, de los polígonos regulares que cubren el plano, el hexágono es el de menor perímetro. Esto indicaría una cierta capacidad de economía en el Constructor de la Biblioteca, y en las abejas. Luego de hacer la descripción del universo, el narrador anónimo de La biblioteca de Babel confiesa haber peregrinado en busca de un libro, acaso del catálogo de catálogos (luego analizaremos estas últimas palabras), y que espera pronto la muerte. A continuación conjetura que la Biblioteca es interminable y, tras esbozar una teoría circular de los místicos, da cuenta del número de libros, páginas, renglones y letras que hay en cada galería. En las letras del dorso de los libros y en las de las páginas hay inconexiones. El narrador, antes de exponer su solución a estos enigmas, indica que deben recordarse dos axiomas. El primero de ellos declara que la Biblioteca existe ab aeterno, de lo que se infiere la eternidad futura del mundo y que ella sólo puede ser obra de un dios. El segundo, que el número de símbolos es veinticinco. Los conforman la coma, el punto, el espacio y las veintidós letras del alfabeto. De este axioma surge la teoría general de la Biblioteca, esto es, la naturaleza informe y caótica de casi todos los libros. Libros plagados de insensatas cacofonías, de fárragos verbales y de incoherencias. Un hallazgo producido quinientos años atrás permite descubrir la ley fundamental: No hay, en la vasta Biblioteca, dos libros idénticos. De aquí se infiere que la Biblioteca es total y que sus anaqueles registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos (número, aunque vastísimo, no infinito). El hallazgo mencionado era un libro tan confuso como otros, pero que tenía casi dos hojas de líneas homogéneas. Esas líneas contenían nociones de análisis combinatorio, ilustradas por ejemplos de variaciones con repetición ilimitada. El análisis combinatorio, o simplemente, la Combinatoria, es una parte de la Matemática que se encarga de las técnicas de conteo. Suele describírsela como el arte de contar sin enumerar. Por ejemplo, supongamos que queremos hacer una tira de 3 casilleros utilizando sólo las letras A y B. Las posibilidades son: AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Es decir, 8 formas. Esto puede verse así: en el primer casillero pueden ir A ó B; por cada una de estas dos posibilidades, en el segundo casillero pueden ir A ó B; y por cada una de estas dos últimas posibilidades pueden ir en el tercer casillero A ó B. Es decir, tenemos 2.2.2 = 23=8 . En general, si tenemos una tira de n casilleros y podemos utilizar m letras, la cantidad total de posibilidades es: mn. Estos grupos de elementos (en el ejemplo, tiras de letras) se denominan variaciones con repetición. Se llaman con repetición porque cada elemento puede intervenir varias veces en cada agrupación. Como ejemplo, puede calcularse el número de patentes posibles de los autos: 273.103, es decir, 19 683 000. Creo ya haber adelantado que el narrador de La biblioteca de Babel había indicado algunos números referidos al contenido de las galerías: A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página, de cuarenta renglones, cada renglón, de unas ochenta letras de color negro. Permítame el lector aburrirlo con algunas cuentas. Cada libro tiene 410 páginas. Cada página tiene 40 renglones, esto es, hay 16400 renglones en un libro. Cada renglón tiene 80 letras, esto es, hay 1 312 000 letras en un libro. Ya que sólo pueden utilizarse 25 símbolos, el número total de posibilidades de combinación de esos símbolos en los 1 312 000 "casilleros" es: 251312000 (número, aunque vastísimo, no infinito). Regresemos al relato. La proclamación de esta teoría de la Biblioteca total justificaba al universo y, en consecuencia, a cada individuo. Miles buscaron su Vindicación en los libros (que todo lo contenían), aunque la posibilidad de que alguno encontrara la suya era ciertamente cero. Se esperó encontrar, además, el origen de la Biblioteca y del tiempo. Pero las posibilidades de hallar las respuestas eran remotas y, entonces, a la desaforada esperanza, sucedió, como es natural, una depresión excesiva. Algunos sugirieron cesar las búsquedas y construir,  azarosamente, esos libros canónicos. Otros creyeron que debían eliminarse las obras inútiles y procedieron a invadir las galerías y quemar los libros. El narrador expone luego una superstición: En algún anaquel de algún hexágono (razonaron los hombres) debe existir un libro que sea la cifra y el compendio perfecto de todos los demás: algún bibliotecario lo ha recorrido y es análogo a un dios. Ya habíamos mencionado la búsqueda del catálogo de catálogos. Este libro constituiría una paradoja de las matemáticas, como intentaré explicar. Antes de aclarar la cuestión, daré algunas referencias históricas. Georg Cantor (1845-1918), nacido en San Petersburgo, Rusia, (aunque a los 11 años de edad emigró con su familia a Francfort, Alemania, donde vivió hasta su muerte) desarrolló la Mengenlehre (teoría de conjuntos), que tuvo, desde mediados del siglo XX, efectos profundísimos en la enseñanza de la matemática en todos sus niveles. Sus trabajos más importantes se refieren a los conjuntos infinitos. En primer lugar, consideremos la siguiente pregunta: ¿qué es el infinito? Cantor encontró una definición precisa de un conjunto infinito de elementos. Pensó en un axioma que había sido utilizado con gran soltura y que aparece en los Elementos de Euclides (alrededor del año 300 a.C.) bajo el título de Nociones Comunes. De éstas, la número cinco expresa famosamente: El todo es mayor que la parte. Bertrand Russell, sin embargo, nos advierte: Este axioma es cierto para los números finitos. Los ingleses, por ejemplo, son sólo una parte de los europeos, y hay menos ingleses que europeos. Pero cuando llegamos a los números infinitos esto ya no es cierto. He aquí, la definición de Cantor de conjunto infinito, en boca de Russell: Un conjunto de términos es infinito cuando contiene como partes otros conjuntos que tienen tantos términos como él. Hay, por ejemplo, tantos números pares como números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, ad infinitum
2, 4, 6, 8, 10, ad infinitum

   Como se ve, a cada número natural le corresponde su doble y a cada número par le corresponde su mitad. De esta manera, se concluía que los dos conjuntos tenían el mismo número de elementos. Utilizando estas correspondencias, Cantor demostró que el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, ...) tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de los números enteros (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) y que el conjunto de los números racionales (es decir, todos los números anteriores y además, las fracciones). Sin embargo, estos conjuntos tienen menos elementos que el conjunto de todos los números irracionales (números que no pueden escribirse como fracción; ejemplo, el número pi). A los números que indican la cantidad de elementos de un conjunto infinito se los llama transfinitos. El conjunto de los números naturales y todos los conjuntos que pueden ponerse en correspondencia con él tienen el mismo número de elementos. Cantor llamó a este número (aleph, primer letra del alfabeto hebreo), y es el número transfinito más pequeño. Estas menudencias de los conjuntos infinitos fueron tratadas por Borges en La doctrina de los ciclos (Historia de la eternidad). En La cifra, el mismo Borges escribió un poema titulado Nihon. Su primer parágrafo dice:
   He divisado, desde las páginas de Russell, la doctrina de los conjuntos, la Mengenlehre, que postula y explora los vastos números que no alcanzaría un hombre inmortal aunque agotara sus eternidades contando, y cuyas dinastías imaginarias tienen como cifras las letras del alfabeto hebreo. En ese delicado laberinto no me fue dado penetrar.

    He mencionado a los destructores de los anaqueles. Sin embargo, el  narrador arguye la futilidad de aquellas devastaciones , ya que la Biblioteca es tan enorme que toda reducción de origen humano resulta infinitesimal. Si la Biblioteca es infinita (como conjetura el narrador al final) entonces es cierto que toda reducción humana es infinitesimal. En la aritmética transfinita existe un teorema que afirma que la diferencia entre un conjunto infinito y cualquiera de sus partes finitas es un conjunto infinito.Georg Cantor encontró conjuntos mayores que el conjunto de los números naturales (es decir, números mayores que aleph). Pero en 1895 se le ocurrió la idea de considerar el mayor conjunto de todos los que existen. Cuatro años más tarde llegó a la conclusión de que tal engendro no podía existir. Cuando Bertrand Russell vio esta conclusión de Cantor, no se la creyó y escribió que Cantor debió haber sido "presa de una sutil falacia, que espero explicar en futuros trabajos". Dieciséis años más tarde, Russell admitía su error. Este hecho generó famosas paradojas o antinomias. La más conocida es quizás la del propio Russell: Un barbero de pueblo decía que él no afeitaba a nadie del pueblo que se afeitara a sí mismo, pero que afeitaba a todos los que no se afeitaban a sí mismos. Un día al barbero se le ocurrió preguntarse si debía afeitarse a sí mismo. Y se encontró entonces en medio de una paradoja. Consideremos a C como el conjunto de todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. La pregunta es: ¿el barbero pertenece o no al conjunto C? Si el barbero pertenece a C entonces no se afeita por sí mismo; luego, es un hombre afeitado por el barbero, es decir, por sí mismo, con lo cual no pertenece al conjunto C. Es decir, si el barbero pertenece a C entonces no pertenece a C; esto es absurdo. Pensemos a hora que el barbero no pertenece a C, es decir, que se afeita a sí mismo; luego, es un hombre afeitado por el barbero, con lo cual no se afeita por sí mismo y entonces, pertenece a C. Es decir, si el barbero no pertenece a C entonces pertenece a C; y esto genera otro absurdo. En La Biblioteca de Babel, el narrador busca el catálogo de catálogos. Pero éste no ha de existir. Supongamos que el conjunto A es el catálogo de catálogos y A1 , A2 , A3 son todos los catálogos existentes en la Biblioteca. Simbólicamente tenemos: A={A1,A2,A3}. Nos encontramos entonces con un catálogo que no está catalogado, el A. Deberíamos armar un catálogo B que lo incluyera: B={A, A1,A2,A3}. Ahora no está el catálogo B..., y así indefinidamente. El narrador anónimo suplica, desesperadamente, que ese libro total exista, pero Cantor ya ha destruido esa posibilidad. El relato finaliza con la solución del narrador: La Biblioteca es ilimitada y periódica. Esta perioricidad que el narrador caracteriza como el Orden, indica una ley a seguir, una regla. Por ejemplo, en el número 3,45267267267..., la regla es que después del 3,45 se repite indefinidamente la terna 267, llamada período. En realidad, todos los números que pueden escribirse en forma de fracción (y esto incluye también a los enteros, que son fracciones de denominador uno) pueden ser expresados como decimales periódicos. Por ejemplo, el 4 podemos escribirlo como 3,999999.... A todos estos números se los llama racionales (ya que pueden ser escritos como una razón de dos enteros). Existen infinitos números desprovistos de esta característica; se los llama, atrozmente, irracionales. En ellos no existe ley alguna. El ejemplo más conocido es el número , ente que ningún ser viviente pudo (ni podrá) contemplar jamás.En la última página del cuento, hay una nota al pie en donde se dice que Leticia Álvarez de Toledo ha observado que la vasta  Biblioteca es inútil; en rigor, bastaría un solo volumen, de formato común, impreso en cuerpo nueve o en cuerpo diez, que constara de un número infinito de hojas infinitamente delgadas. (Cavalieri a principios del siglo XVII, dijo que todo cuerpo sólido es la superposición de un número infinito de planos). [Alicia Ardila ha observado, a su vez, que Borges utiliza esta idea infinitesimal en El libro de arena]. El matemático Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fue discípulo de Galileo. En una de sus obras, publicada en 1635, consideró un área como constituida por un número indefinido de rectas paralelas y equidistantes, y un volumen como compuesto por un número indefinido de áreas planas paralelas. Esta consideración ya había sido contemplada por Arquímedes (siglo III a.C.), aunque este hecho era desconocido en aquella época. Los trabajos de Cavalieri iban a influir bastante en la creación suprema de Newton y Leibniz: el cálculo infinitesimal. Esta rama de la matemática maneja procesos infinitos formalizados con rigor, pero este último detalle fue evitado por Cavalieri: El rigor es asunto de los filósofos más que de los matemáticos. Es sabido que la obra de Jorge Luis Borges remite no pocas veces a campos matemáticos. Es posible, claro está, comprender la mayor parte (o toda) la prosa borgiana sin ser un experto geómetra; sin embargo, creo que una cierta comprensión del álgebra, amada por el poeta argentino, otorgará un placer al menos diferente del habitual. El matemático alemán Karl Wieierstrass sentenció que un matemático que no tenga también algo de poeta jamás será un completo matemático, podríamos parafrasearlo diciendo que un poeta que no tenga también algo de matemático jamás será un completo poeta. He intentado hacer notar, tal vez confusamente, algunos presupuestos matemáticos inmersos en las páginas de La biblioteca de Babel. Si algún lector puede llegar a enriquecer (siquiera someramente) su lectura con estos aportes, entonces estas líneas estarán justificadas. (*)

(*) Fuente: Claudio Salpeter,"La matemática biblioteca de Babel", enviado gentilmente por su autor para su edición aquí.